Slučajni hod

Kada posmatramo atom koji se kreće usled difuzije, vidimo da ne možemo precizno da utvrdimo njegovo kretanje. Mesto na kojem se atom nalazi u nekom momentu je u potpunosti slučajno. Ako bi postojao neki određeni pravac kretanja, (verovatno izazvan električnim poljem), onda bi taj pravac kretanja atoma bio dominantan, s vremena na vreme. Slično, ako razmotrimo više atoma, sa ravnomernim rasporedom, koji se kreću difuzijom, onda je njihovo prosečno pomeranje jednako nuli. Ako postoji dominantan pravac kretanja, onda se u tom pravcu odvija protok. Ovo slučajno kretanje se modelira teorijom slučajnog hoda.

Jednodimenzioni slučajni hod

Zamislite atom koji se nalazi u svom položaju u kristalnoj rešetki. Atom će da osciluje n puta u sekundi, što odgovara frekvenciji oscilacija n. Rastojanje premeštanja atoma, l, je rastojanje između atomskih položaja. Posle nekog vremena, t, atom će napraviti nekoliko uzastopnih premeštanja, i to slučajno levo ili desno, i preći će ukupno rastojanje, d, u odnosu na početni položaj. Ovo je poznato kao “slučajni hod”.

Kod slučajnog hoda, srednji pređeni put, x, je proporcionalan srednjem korenu kvadrata broja napravljenih pomeranja, a time i korenu vremena:

\[\overline x = \lambda \sqrt n \] \[\overline x = \lambda \sqrt {\nu t} \]

Ključno je to što se koristi srednji pređeni put. Pošto se kretanje atoma zasniva na verovatnoći, postoji statistička raspodela rastojanja koja naprave atomi. Ne možemo predvideti lokaciju pojedinačnog atoma - već samo dodeliti verovatnoće njegovim potencijalnim lokacijama.

Ova simulacija pokazuje slučajni hod atoma duž jednodimenzione rešetke. Kada nema prednapona (bias), verovatnoća za kretanje atoma u svim mogućim pravcima je ista. Kada se pojača bias, atom ima veću verovatnoću kretanja udesno, pa je veći izgled da će statistički da se premešta u tom pravcu u toku vremena.

Dvodimenzioni slučajni hod

Sada možemo proširiti ovaj model na dvodimenzionalnu rešetku. U ovom slučaju, atom može da se kreće u jednom od 4 pravaca: levo, desno, gore ili dole, gde je ista verovatnoća u svakom pravcu. Kao i kod jedndimenzione rešetke, kada se pojača bias, srednji koren kvadrata rastojanja od početnog položaja je proporcionalan korenu vremena.