Fick-ov drugi zakon

Fick-ov drugi zakon se odnosi na promenu gradijenta koncentracije sa vremenom.

Primenom Fick-ovog prvog zakon i fluksa kroz dva proizvoljna položaja u materijalu, izvodi se Fick-ov drugi zakon.

\[\frac{{\partial C}}{{\partial t}} = D\left\{ {\frac{{{\partial ^2}C}}{{\partial {x^2}}}} \right\}\]

Ova jednačina se može rešiti kada su poznati granični uslovi:

1. “Tanki izvor”

Posmatrajmo polubeskonačni štap sa malom, zadatom količinom rastvorljivog materijala, koji difunduje sa jednog kraja kroz štap.

Količina rastvorenog materijala treba da ostane konstantna, stoga je  \(\int\limits_0^\infty {C\left\{ {x,t} \right\}} {\rm{d}}x = B\), gde je B konstanta. Početna koncentracija rastvorenog materijala u štapu je jednaka nuli, pa je \(C\left\{ {x,t = 0} \right\} = {C_0}\)

Sa ovim graničnim uslovima dobija se sledeće rešenje:

\[C\left\{ {x,t} \right\} = \frac{B}{{\sqrt {\pi Dt} }}\exp \left\{ {\frac{{ - {x^2}}}{{4Dt}}} \right\}\]

2. “Beskonačni izvor”

Polubeskonačni štap sa konstantnim izvorom (na pr. konstantna koncentracija) rastvorenog materijala, koji dospeva u štap difuzijom sa jedne strane štapa.

U ovom slučaju, do rešenja se dolazi gomilanjem niza "tankih izvora" s jedne strane štapa, a zatim, sumiranjem uticaja svih izvora duž celog štapa.

Početna koncentracija rastvorenog materijala u štapu je  C₀, pa je  \(C\left\{ {x,t = 0} \right\} = {C_0}\)

Koncentracija rastvorenog materijala na kraju štapa je konstantna, C_s, pa je  \(C\left\{ {x = 0,t} \right\} = {C_s}\)

Sa ovim graničnim uslovima dobija se sledeće rešenje:

\[C\left\{ {x,t} \right\} = {C_s} - ({C_s} - {C_0})erf\left\{ {\frac{x}{{2\sqrt {Dt} }}} \right\}\]

erf{x} je poznata funkcija greške (Gauss-ova) i nastaje kao rezultat sumiranja tankih izvora na kraju štapa. Definiše se kao

\[erf\left\{ x \right\} = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int\limits_0^x {\exp \left\{ { - {u^2}} \right\}} du\]

Ovaj integral se može rešiti samo numerički (putem računara), tako da je potrebno koristiti erf tabele za rešavanje difuzione jednačine, po potrebi.

Sledeća animacija pokazuje primene Fick-ovog drugog zakona i dobijena rešenja.

3. Neanalitička rešenja

Kod komplikovanijih problema nije moguće dobiti analitičko rešenje za Fick-ov drugi zakon. U ovim slučajevima se koristi numerička analiza. Rešenja dobijena na ovaj način su približna, međutim, mogu se svesti na vrlo tačna rešenja po potrebi.

Sledeća demonstracija pokazuje kako se primenjuje numerička analiza u aproksimaciji rešenja u raznim slučajevima.