Izvođenje Darken-ove jednačine

1. Odredite neto fluks atoma

Iz Fick-ovog prvog zakona sledi:

\[{J_A} = - {D_A}\left\{ {\frac{{\partial {C_A}}}{{\partial x}}} \right\}\] \[{J_B} = - {D_B}\left\{ {\frac{{\partial {C_B}}}{{\partial x}}} \right\}\]

Pretpostavimo da je ukupan broj atoma konstantan, stoga su oba gradijenta koncentracije jednaki i suprotnog znaka:

\[\frac{{\partial {C_A}}}{{\partial x}} = - \frac{{\partial {C_B}}}{{\partial x}}\]

pa je:

\[{J_B} = {D_B}\left\{ {\frac{{\partial {C_A}}}{{\partial x}}} \right\}\]

Neto fluks atoma je dat sa J_B − J_A, i treba da je jednak neto fluksu praznina, J_v,

\[{J_v} = \left( {{D_A} - {D_B}} \right)\left\{ {\frac{{\partial {C_A}}}{{\partial x}}} \right\}\]

2. Upotrebite ovo za određivanje brzine pomeranja rešetke

Brzina pomeranja rešetke se može odrediti izjednačavanjem sa fluksom praznina, J_v.

U inkrementu vremena δt, ravan rešetke površine A prebriše zapreminu Avδt. Ako ima C₀ atoma u jedinici zapremine, onda ova zapremina sadrži Avδt C₀ atoma, tako da je ukupan broj praznina koje prolaze kroz ravan dat sa J_v Aδt, pa je

\[{J_v}A\partial t = Av\partial t{C_0}\] \[{J_v} = v{C_0}\]

Smenom izraza za J_v dobijenog u odeljku 1:

\[\left( {{D_A} - {D_B}} \right)\left\{ {\frac{{\partial {C_A}}}{{\partial x}}} \right\} = v{C_0}\]

\[v = \frac{1}{{{C_0}}}\left( {{D_A} - {D_B}} \right)\left\{ {\frac{{\partial {C_A}}}{{\partial x}}} \right\}\]

3. Uticaj pomeranja rešetke na koeficijente difuzije A i B

Iz Fick-ovog prvog zakona:

\[{J_A} = - {D_A}\left\{ {\frac{{\partial {C_A}}}{{\partial x}}} \right\}\]

ovaj fluks se izjednačava sa fluksom usled pomeranja rešetke:

J_reš = v C_A

Ako je  J_A⁰  neto fluks:

\[{J_A}' = - {D_A}\left\{ {\frac{{\partial {C_A}}}{{\partial x}}} \right\} + v{C_A}\]

Brzina v je određena u odeljku 2:

\[{J_A}' = - {D_A}\left\{ {\frac{{\partial {C_A}}}{{\partial x}}} \right\} + \frac{1}{{{C_0}}}\left( {{D_A} - {D_B}} \right)\left\{ {\frac{{\partial {C_A}}}{{\partial x}}} \right\}{C_A}\] \[{J_A}' = - {D_A}\left\{ {\frac{{\partial {C_A}}}{{\partial x}}} \right\} + {X_A}\left( {{D_A} - {D_B}} \right)\left\{ {\frac{{\partial {C_A}}}{{\partial x}}} \right\}\] \[{J_A}' = \left( {{X_A}{D_A} - {X_A}{D_B} - {D_A}} \right)\left\{ {\frac{{\partial {C_A}}}{{\partial x}}} \right\}\] \[{J_A}' = \left( {\left( {1 - {X_B}} \right){D_A} - {X_A}{D_B} - {D_A}} \right)\left\{ {\frac{{\partial {C_A}}}{{\partial x}}} \right\}\] \[{J_A}' = - \left( {{X_A}{D_B} + {X_B}{D_A} + {D_A} - {D_A}} \right)\left\{ {\frac{{\partial {C_A}}}{{\partial x}}} \right\}\] \[{J_A}' = - \left( {{X_A}{D_B} + {X_B}{D_A}} \right)\left\{ {\frac{{\partial {C_A}}}{{\partial x}}} \right\}\] \[{J_A}' = - \tilde D\left\{{\frac{{\partial {C_A}}}{{\partial x}}} \right\}\]

gde je \(\tilde D\)  koeficijent interdifuzije, pa je

\[\tilde D = {X_A}{D_B} + {X_B}{D_A}\]